حاسبة الانحراف المعياري

احسب الانحراف المعياري والتباين لمجموعة بيانات.

الصيغة

يقيس الانحراف المعياري متوسط مسافة نقاط البيانات عن متوسط مجموعة البيانات. لحساب تباين المجتمع، الصيغة هي σ² = Σ(x - μ)² / N، حيث Σ هي مجموع كل القيم، و x هي كل نقطة بيانات فردية، و μ هي متوسط المجتمع، و N هو العدد الإجمالي للنقاط. الانحراف المعياري للمجتمع (σ) هو الجذر التربيعي لهذا التباين. يتم استخدام هذا النهج عندما يكون لديك وصول إلى كل نقطة بيانات في المجموعة الكاملة التي تتم دراستها. بالنسبة لمعظم تطبيقات العالم الحقيقي حيث يكون لديك فقط مجموعة فرعية من مجموعة أكبر، يتم حساب الانحراف المعياري للعينة (s) باستخدام الصيغة s = √[Σ(x - x̄)² / (n - 1)]. يستخدم هذا الإصدار x̄ لمتوسط العينة ويطبق تصحيح بيسل بالقسمة على n - 1 بدلاً من n. يعوض هذا التعديل عن حقيقة أن العينة تميل إلى إظهار تباين أقل قليلاً من المجتمع الكامل، مما يوفر تقديراً أكثر دقة وغير متحيز للتحليل العلمي أو الإحصائي.

مثال

فكر في مجموعة بيانات صغيرة لثلاثة أوزان لأشياء: 5 kg، و 7 kg، و 9 kg. أولاً، أوجد المتوسط بجمع القيم والقسمة على ثلاثة، وهو ما يساوي 7 kg. بعد ذلك، اطرح المتوسط من كل قيمة وربع النتيجة: (5 - 7)² = 4، (7 - 7)² = 0، و (9 - 7)² = 4. يعطي جمع هذه المربعات معاً مجموعاً قدره 8. لإيجاد تباين العينة، اقسم هذا المجموع على n - 1، وهو 3 - 1 = 2، مما ينتج عنه تباين قدره 4. أخيراً، خذ الجذر التربيعي لـ 4 لتحديد أن الانحراف المعياري للعينة هو 2 kg.

ماذا تعني النتيجة

  • ±1 σ توزيع طبيعي
    المعنى في التوزيع الطبيعي، تقع حوالي 68.3 بالمائة من جميع نقاط البيانات ضمن هذا النطاق.
    الإجراء يمثل هذا النتائج الأكثر شيوعاً والتركيز الأساسي لمجموعة البيانات.
  • ±2 σ تباين عالٍ
    المعنى تقع حوالي 95.4 بالمائة من نقاط البيانات ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط.
    الإجراء غالباً ما تعتبر النقاط التي تقع خارج هذا النطاق ذات دلالة إحصائية أو غير عادية.
  • ±3 σ قيم متطرفة شديدة
    المعنى حوالي 99.7 بالمائة من البيانات تقع ضمن هذا النطاق الواسع، مما يترك القليل جداً في الخارج.
    الإجراء نقاط البيانات التي تتجاوز هذا الحد نادرة للغاية ويجب التحقيق فيها كشذوذ.
  • 0 تباين صفري
    المعنى يشير الانحراف المعياري الذي يساوي صفراً إلى أن كل نقطة بيانات في المجموعة متطابقة.
    الإجراء تأكد مما إذا كان هذا النقص في التباين متوقعاً أو يشير إلى خطأ في القياس.
النطاق الحالة المعنى الإجراء
±1 σ توزيع طبيعي في التوزيع الطبيعي، تقع حوالي 68.3 بالمائة من جميع نقاط البيانات ضمن هذا النطاق. يمثل هذا النتائج الأكثر شيوعاً والتركيز الأساسي لمجموعة البيانات.
±2 σ تباين عالٍ تقع حوالي 95.4 بالمائة من نقاط البيانات ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط. غالباً ما تعتبر النقاط التي تقع خارج هذا النطاق ذات دلالة إحصائية أو غير عادية.
±3 σ قيم متطرفة شديدة حوالي 99.7 بالمائة من البيانات تقع ضمن هذا النطاق الواسع، مما يترك القليل جداً في الخارج. نقاط البيانات التي تتجاوز هذا الحد نادرة للغاية ويجب التحقيق فيها كشذوذ.
0 تباين صفري يشير الانحراف المعياري الذي يساوي صفراً إلى أن كل نقطة بيانات في المجموعة متطابقة. تأكد مما إذا كان هذا النقص في التباين متوقعاً أو يشير إلى خطأ في القياس.

متى تستخدم هذه الحاسبة

النطاق الصالح: الانحراف المعياري للعينة صالح لأي مجموعة بيانات تحتوي على قيمتين عدديتين على الأقل.

تتعطل الصيغة عندما يكون n أقل من اثنين للعينات لأنها تؤدي إلى القسمة على صفر. الانحراف المعياري حساس للغاية للقيم المتطرفة، مما يعني أن قيمة متطرفة واحدة يمكن أن تضخم النتيجة بشكل كبير وتسيء تمثيل الانتشار العام للبيانات.

الانحراف المعياري هو المقياس الأكثر استخداماً للتشتت الإحصائي، حيث يحدد مدى اختلاف أعضاء المجموعة عن متوسط القيمة لتلك المجموعة. إنه أداة أساسية في مجالات مختلفة، بما في ذلك التمويل، حيث يتم استخدامه لقياس تقلبات السوق ومخاطر الاستثمار. يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى أن نقاط البيانات تميل إلى أن تكون قريبة جداً من المتوسط، بينما يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى أن نقاط البيانات منتشرة عبر نطاق واسع من القيم. هذا الحساب ضروري لأنه يسمح للباحثين والمحللين بفهم موثوقية واتساق بياناتهم. في التصنيع ومراقبة الجودة، يساعد الانحراف المعياري في تحديد ما إذا كانت العملية مستقرة أو إذا كانت الاختلافات في المنتجات مثل طول البرغي بـ cm (in) تقع ضمن الحدود المقبولة. من خلال تحديد مدى انحراف العملية عن هدفها، يمكن للمهندسين تنفيذ تحسينات لضمان تلبية المنتجات للمواصفات الصارمة. علاوة على ذلك، يعد المفهوم مركزياً لمنهجية Six Sigma، التي تهدف إلى تقليل تباين العملية بحيث تقع جميع النتائج تقريباً ضمن نطاق ضيق جداً من المتوسط. يتيح فهم الانحراف المعياري أيضاً استخدام درجات Z، التي تحدد عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها نقطة معينة عن المتوسط، مما يسمح بمقارنة نقاط البيانات من مجموعات بيانات مختلفة.

حاسبات ذات صلة

حاسبة النسبة المئوية حاسبة المتوسط والوسيط والمنوال حاسبة التغير المئوي

الأسئلة الشائعة

يشير الانحراف المعياري العالي إلى أن نقاط البيانات منتشرة عبر نطاق أوسع من القيم، مما يشير إلى تباين عالٍ أو عدم اتساق. في التمويل، يمثل هذا غالباً مخاطر أعلى، بينما في التصنيع، قد يشير إلى نقص الدقة في عمليات الإنتاج. يظهر أن البيانات أقل تجمعاً حول المتوسط.

يتم استخدام الانحراف المعياري للمجتمع عندما يتم قياس كل عضو في المجموعة، بينما يقدر الانحراف المعياري للعينة تباين مجموعة أكبر بناءً على مجموعة فرعية. تستخدم صيغة العينة n - 1 في المقام، المعروف باسم تصحيح بيسل، لتوفير تقدير أكثر دقة وغير متحيز.

تنص قاعدة 68-95-99.7، أو القاعدة التجريبية، على أنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي، تقع جميع البيانات تقريباً ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط. على وجه التحديد، يقع 68 بالمائة ضمن انحراف واحد، و 95 بالمائة ضمن اثنين، و 99.7 بالمائة ضمن ثلاثة. يساعد هذا في تحديد القيم المتطرفة وفهم احتمالية نقاط بيانات محددة.

لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالباً لأنه يتم حسابه كجذر تربيعي للتباين، وهو مجموع القيم المربعة. أصغر قيمة ممكنة هي الصفر، مما يشير إلى أن جميع نقاط البيانات متطابقة. إذا قمت بحساب قيمة سالبة، فمن المحتمل أن يكون هناك خطأ في الحساب أو تطبيق الصيغة.

الانحراف المعياري هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين. بينما يوفر التباين وصفاً رياضياً للانتشار بوحدات مربعة، يعبر الانحراف المعياري عن هذا الانتشار بنفس وحدات البيانات الأصلية. وهذا يجعل تفسير الانحراف المعياري وتطبيقه على قياسات أو مقارنات العالم الحقيقي أسهل بكثير.

يجب عليك استشارة إحصائي محترف عند التعامل مع توزيعات بيانات معقدة لا تتبع منحنى الجرس الطبيعي أو عند اتخاذ قرارات عالية المخاطر بناءً على عينات صغيرة. يمكن للخبراء المساعدة في تطبيق أساليب متقدمة تتجاوز الانحراف المعياري الأساسي لضمان أن استنتاجاتك سليمة رياضياً وتأخذ في الاعتبار التحيزات المحتملة.